Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $BA=BC=a$, $AD=2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{2}$.
a) (1 điểm) Chứng minh $\left( SAB \right) \perp \left( SAD \right)$.
b) (1 điểm) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$.
c) (1 điểm) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Tính khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left( SCD...
Đọc tiếp
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $BA=BC=a$, $AD=2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{2}$.
a) (1 điểm) Chứng minh $\left( SAB \right) \perp \left( SAD \right)$.
b) (1 điểm) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$.
c) (1 điểm) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Tính khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
.jpg)
a) SA vuông góc với (ABCD) => SA vuông góc AD; hình thang ABCD vuông tại A => AD vuông góc AB
=> AD vuông góc (SAB), mà AD nằm trong (SAD) nên (SAB) vuông góc (SAD).
b) AD vuông góc (SAB), BC || AD => BC vuông góc (SAB) => B là hc vuông góc của C trên (SAB)
=> (SC,SAB) = ^CAB
\(SB=\sqrt{AS^2+AB^2}=\sqrt{2a^2+a^2}\)\(=a\sqrt{3}\)
\(\tan\widehat{CAB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)=> (SC,SAB) = ^CAB = 300.
c) T là trung điểm của AD, K thuộc ST sao cho AK vuông góc ST, BT cắt AC tại O, HK cắt AO tại I, AI cắt SC tại L.
BC vuông góc (SAB) => BC vuông góc AH, vì AH vuông góc SB nên AH vuông góc SC. Tương tự AK vuông góc SC
=> SC vuông góc (HAK) => SC vuông góc AI,AL. Lập luận tương tự thì AL,AI vuông góc (SCD).
Dễ thấy \(\Delta\)SAB = \(\Delta\)SAT, chúng có đường cao tương ứng AH và AK => \(\frac{HS}{HB}=\frac{KS}{KT}\)=> HK || BT || CD
=> d(H,SCD) = d(I,SCD) = IL (vì A,I,L vuông góc (SCD)) = \(\frac{IL}{AL}.AL=\frac{CO}{CA}.\frac{SI}{SO}.AL=\frac{1}{2}.\frac{SH}{SB}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{SA^2}{SA^2+SB^2}.\frac{AS.AC}{\sqrt{AS^2+AC^2}}=\frac{1}{2}.\frac{2a^2}{2a^2+a^2}.\frac{a\sqrt{2}.a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+2a^2}}=\frac{a}{3}\)